浅谈相似三角形的复习

一、主要考点分析：

1、 探索两个三角形相似的条件是考查的重点。因此熟记两个三角形相似的三种条件就显得非常重要。具体为：

a ）两角对应相等的两个三角形相似；

b ）三边对应成比例的两个三角形相似；

c ）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2、 探索两个相似三角形的性质并会利用这些性质解决一些实际问题是考查的另一重点。因此熟记相似三角形的性质也是非常重要的。具体为：

a ）相似三角形的对应角相等；

b ）相似三角形的对应边成比例；

c ）相似三角形的对应角平分线、中线、高线的比等于相似比；

d ）相似三角形的周长的比等于相似比。

二、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：

2、1平行线截三角形二边相似：

 

 

 

 

 

 

 

基本条件：DE∥BC

基本结论：△ADE∽△ABC；每个图形中有一对相似三角形。

 

特例：

基本条件：DE⊥AC，BC⊥AC

基本结论：△ADE∽△ACB；每个图形中有一对相似三角形。

 

 

 

2、2直线斜截三角形二边相似：

 

 

 

 

 

 

基本条件：∠ADE=∠ACB，或∠AED=∠ABC，或AE：AB=AD：AC

基本结论：△ADE∽△ACB；图形中有一对相似三角形

特例：

基本条件：∠BDE=∠BAC，或BD：AB=BE：BC或

DE：AC=BE：BC

基本结论：△BDE∽△BAC；图形中有一对相似三角形

 

 

 

2、3过三角形一顶点斜截三角形一边相似：

 

 

 

 

 

基本条件：∠ADE=∠ACB，或∠ACD=∠ABC，或AC：AB=AD：AC

基本结论：△ADC∽△ACB；图形中有一对相似三角形

特例：

 

 

 

 

 

 

基本条件：∠BCA=∠CDB=90°，

基本结论：△BDC∽△BCA；△ADC∽△ABC；△BDC∽△CDA；图形中有三对相似三角形。

三、寻找相似三角形对数的基本方法：

3、1应用基本图形法：必须清楚各基本图形中相似三角形的对数；

3、2应用三角形相似传递法：

即如果△₁∽△₂，△₂∽△₃，那么△₁∽△₃。

四、相似三角形的热点考题

4、1条件相似型

例1 如图1，已知：在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：

①∠ACP=∠B，  ②∠APC=∠ACB，

③AC²=AP.AB     ④AB.CP=AP.CB

A）①②④    B） ①②③       C） ②④      D）①③④

分析：根据相似的基本图形去判断。

解：选B

4、2图形中寻找相似三角形

例2  如图2，在△ABC中，D是边BC上的一点，且∠DAC=∠B，若DE∥AC交AB于点E，EF∥BD交AD于点F，则图形中共有       对相似三角形。

A）8        B）9      C） 10      D）11

分析：按照基本图形法和三角形相似传递法去分析求解。

解：选B

 

 

A

B

C

D

E

图3

O

.

例3 如图3，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点 D, 交边BC

于点E，连结BD.

(1)根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形；

(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.

解；(1)根据题设条件，得：

△BDE∽△ACE；△BDE∽△ADB；△ACE∽△ADB；

(2)略.

例3 如图4，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比不能表示∠B的正弦的是：       。

A）CD：BC    B）AC：AB    C）AD：AC     D）CD：AC

分析：根据上面知识的分析，知道这个图形中有三对相似三角形，分别是：△BDC∽△BCA；△ADC∽△ABC；△BDC∽△CDA；后根据正弦的定义作出判断而得答案。

解：选D）

 

4、3相似三角形的简单计算、证明型

例4  如图5，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，

E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M．

  (1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM．

解：(1)∵E是AB的中点，且AB=2CD，∴CD=EB∵AB∥CD，∴四边形EBCD为平行四边形∴ED∥BC∴△EDM∽△FBM；

(2) ∵△EDM∽△FBM；∴BF：ED=BM：DM，∵F是BC的中点，∴BF：ED=1：2，

∴BM：DM=1：2，∴BM：BD=1：3，∵DB=9，∴BM=3。

 

例5如图6，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F是AE上的一点，

∠BFE=∠C。

1）求证：△ABF∽△CDA；

2）若AB=4，∠BAE=30°，求：AE的长；

3）在1）、2）的条件下，若AD=3，求：BF的长

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，

又∵∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，

∴∠D=∠BFA，

∴ΔABF∽ΔEAD

（2）∵AB∥CD,BE⊥CD，

∴∠ABE=∠BEC=90°，

又∵∠BAE=30°，AB=4

∴AE= = =

（3）由（1）有  = ，

又AD=3，

∴BF= = =

阅读全文() | 回复(0) | 引用通告() | 编辑