数学教材中，已知概念与新知概念之间有着各种不同的逻辑联系，在教学中抓住已知与新知在认识过程中的联结点，是激发学生求知欲的中心环节，它将成为学生参与学习的一种内驱力。当学生掌握了小数除法的竖式计算算

感到困惑不解时，教师故意问大家：“怎么啦？遇到什么困难了？”学生会向老师诉说老也除不尽的苦恼，有的学生甚至会反问：“老师，是不是您把题目出错了？”教师巧妙地设置了这样一个从已知向新知转化中的疑难点，把学生带到了一个特定的教学情境中，就在这时教师亮出了课题《循环小数》，并说，现在让我们一起来研究这个新问题。学生对新知的学习产生了一种理智上的要求，教学过程变成学生学习的需要，那种愉快、满足的情绪将伴随他们去探究有关循环小数的知识。

　　数学是一门研究现实世界中空间形式和数量关系的学科。数学概念是客观事物在数和形的抽象化。在教学中注意从学生熟悉的实际生活中提取数学问题，是我们数学教学的生命力所在。依靠学生对感性材料的直接兴趣，是调动他们积极参与学习过程的一个重要条件。教学圆的认识时，教师问学生，“你们在日常生活中见到哪些物体的形状是圆形的？”学生说硬币、圆桌面、车轱辘、方向盘、钮扣、杯口、喇叭口等都是圆形的。当有学生说球也是圆形的时候，教师让大家都想一想，球是圆形的这个说法对不对？并随即将事先准备好的一个皮球出示在学生面前说，“这是滚瓜溜圆的圆球，但不是今天我们要学的那种圆。你们看球的横截面是什么形？”教师把球掰成两半（事先有准备），让学生清楚地看到球的截面是圆形。“今天让我们一起来研究平面图形中的圆。”学生对圆的直观认识经过了这样一个程序：从生活中的圆形实物到圆的模型，再从圆的模型到平面图形中的圆，这是符合学生对几何形体从具体形象到建立表象，再逐步抽象的认识过程。教师问，“车轱辘为什么采用圆形的？”学生依据自己的生活经验回答说，“因为它没棱没角。”教师随手在黑板上画了一个椭圆形后问学生，“这不是也没梭没角吗？为什么车轱辘不用椭圆形呢？”是啊，这个看来不是问题的问题还真值得好好研究一番呢？教师将学生生活中的问题引导到研究圆这样一个平面图形的数学问题中来。先让学生自己用圆规在纸上画几个圆，体会体会圆是怎么画出来的？为什么画的这条线的首尾能够相接呢？还让学生在圆里画半径，教师说，“能画几条就画几条，看谁画得最多。再用尺子量一量它们的长度，你发现了什么？”……教师引导学生从数学角度对于圆的认识就是从由学生自己动手画圆开始的，教师为学生参与学习过程，主动获取知识，作了精心的设计。

　　知识的掌握与能力的发展之间不能划等号，两者并不是同步的。一般来说，知识的积累是渐进的、明显的，能力的发展是潜在的、潜移默化的。学生的学习过程不仅仅是知识的积累，重要的是在获取知识的同时发展智力培养能力。填鸭式的教学，虽然也能使学生学到一些知识，但是，它对智力发展和能力的培养起着抑制的作用。启发式的教学（它首先是一种教学指导思想）能调动学生智力活动的积极性，在不断地依靠已知去探索和掌握新知中发展能力。教学过程中，教师要给学生留有一定的思维活动空间，促进能力的培养和发展，提高学生的认知水平。信息交流渠道要畅通，应该体现多层次、多方向，以便增大信息量，诱发学生的智慧潜力。长方形的周长是在学生掌握了周长的概念和长方形的特征的基础上来学习的。教师应放手让学生根据长方形对边相等这个特征自己去探索和概括出求周长的公式。有一个长方形，长6dm,宽4dm，求周长。如图（单位：dm）不同认知水平的学生的解题策略也是不相同的，学生根据示意图思考、讨论，想出了下列几种解法：6+4+6+4；6+6+4+4；6×2+4×2；（6+4）×2。教师让学生说出每种解法的依据和思路，并通过比较从中寻找出最佳的解题方法，然后，启发学生将具体的算式与图形建立紧密的联系，把数组成的算式转化成文字的关系式，如6+4+6+4=长+宽+长+宽；6+6+4+4=长+长+宽+宽；6×2+4×2=长×2+宽×2；（6+4）×2=（长+宽）×2。最后由学生概括出长方形的周长=（长+宽）×2。新知形成过程中，教师只在两处作了指向明确的引导，先是要求学生根据自己的认知水平找到求长方形周长的具体解决办法，列出合乎道理的算式来，第二步将算式结合图形转化成文字的关系式，共同总结出长方形周长的公式。其间，给学生留有充足的表现自己的机会，最大限度地提供了信息的互相交流，为学生参与新知形成过程创造了条件。

　　为使学生参与学习过程，教师必须向学生提供学习新知必须具备的充足的感性材料（或事实），让学生通过观察与比较去获取新知识、新概念。在观察比较中，学习观察顺序，训练比较方法，注意全面性。与此同时，要培养学生运用数学语言来表述观察的结果，概括出反映新知识、新概念的性质、定律、公式、法则等。教学商不变性质时，教师让学生计算并观察两组除法算式的商。36÷12=3第一组算式是（36×2）÷（12×2）=（36×3）÷（12×3）=（36×4）÷（12×4）=（36×6）÷（12×6）。第二组算式是（36÷2）÷（12÷2）=（36÷3）÷（12÷3）=（36÷4）÷（12÷4）=（36÷6）÷（12÷6）。学生计算后发现这两组算式的商都是3和原式36÷12的商相同，结论是商没有变。那么被除数和除数又是怎么变化的呢？让学生依次说出每一个算式中被除数和除数的具体变化。（教师提示：乘以几还可以怎么说？）被除数扩大2倍，除数也扩大2倍，商不变；被除数扩大3倍，除数也扩大3倍，……让每个学生把第一组除法算式中被除数和除数的变化再轻声地自言自语地说一说，在说的过程中去体会、去思考，说说着，他们发现了这样一个规律：被除数和除数都扩大了一个同样的倍数，商就不变了。这个发现非常重要，是概括出商不变性质的关键。但是，数学概念的词语要求精练、简明，对学生来说难度较大，如果处理不当，会造成教学时间上的极大浪费，为此，教师可以作必要的补充。教师说，商不变性质中有两个关键词看谁用得好。被除数和除数是同时扩大了相同的倍数，商才不变的。将“同时”与“相同”两个词写在黑板上，以加深学生的印象。这就为学生完整准确地叙述商不变性质扫除了词语上的障碍，把节省的时间放在训练学生用数学语言表述上面，起到事半功倍的效果。学生用第一组题的经验再来观察概括第二组算式的变化规律就不困难了。最后，再让学生把两组算式的变化规律综合成为一个完整的商不变性质。从实践中获得的认识，还需要用它去指导实践。让学生应用性质去检验第三组算式：（48÷4）÷（16÷4）、（48÷2)÷（16×2）、（48+3)÷（16+3）、（48×5)÷（16×5）、（48×4）÷（16÷4）、（48-8）÷（16-8）。在应用中，帮助学生进一步深化了对性质的理解，在理解的基础上再要求记忆，这样可以减轻学生记忆上的负担。在新知形成过程中，教师把教学重点放在自始至终由学生自己去发现“变中有不变，不变中有变”这样一个规律，从观察比较→发现规律→最后概括的认识过程，都伴随着语言的表述，这是将反映客观规律的外部语言转化为内部语言的一次实践，为学生参与学习过程提供了智力活动的范围。

　　学习知识与发展思维的感觉渠道越多，越通畅，越有利于新知的获取。在学生掌握了直角、锐角、钝角的基本概念和三角形的初步认识以后，教师发给每个学生一堆大小不等、颜色不同的三角形。要求学生做的第一件事是读出每一个三角形上的三个角的名称。教师的话音刚落，教室里就热闹起来了，学生按要求认真地读着：锐角、锐角、锐角；锐角、直角、锐角；钝角、锐角、锐角；……教师巧妙地把学生带入了三角形按角进行分类的特定情境中，读完角以后，教师问：“通过这么一读，你想到了什么？”学生说：“三角形都有三个角。这三个角有三种情况，一种是三个锐角，一种是两个锐角一个直角，一种是两个锐角一个钝角。”教师说：“这样的回答虽然是正确的，但是不简明扼要。你们能不能给三种不同情况的三角形起个名称。”学生的潜台词是：给三角形起名儿，太容易了。这的确是瓜熟蒂落、水到渠成的事了。起完名字，教师提出用集合图表示出这三种三角形的关系。于是，按角分类的工作暂告一段。接着，教师又让学生观察三角形的三条边，引导学生按边分类，并用集合图表示出相互的包含关系。教学并没有到此结束，教师又提出了更高的要求：谁能把两种分类的关系用一个集合图表示出来。这个有一定难度的问题，使课堂学习出现了一个新的高潮，在全班同学的积极参与下，问题终于得到了圆满的解答，成功的喜悦将促使学生具有更浓厚的学习兴趣。教师为学生探求新知，在教学过程中巧设“热点”，使学生在课堂教学这片沃土中，开放出五彩缤纷的思维之花。

　　为使学生真正成为学习的主人，能够积极主动地参与到学习过程中去，教师在教学中的民主作风是重要的保证，要使每一个学生感受到参与学习以后的成功与进步。要给予学生以尊重和信任，特别是对待学习成绩比较差的学生，这一点就尤为重要。改变差生的落后状况，引导他们积极参与学习过程，无疑是一剂彻底治“差”的良药。让我们共同努力，为学生的参与创造一个更宽更广更好的教学空间吧！
怎样钻研教材对于要讲解的教材，应该深入钻研。怎样钻研教材，我从教学实践中得出四句话：仔细揣摩，透彻理解；反复琢磨，问个究竟。老师们都会有这样的经验，如果在课前对于教材内容钻研得比较深入，准备得比较充分的话，课上才可能做到运用自如，浅显易懂。简单地说：只有钻得深，才有可能讲得浅。对于教材的探讨，如果能够达到一定的深度和广度的话，才可以使教师心里有底，在讲课中遇到的问题，该肯定的敢于肯定，该否定的敢于否定（当然一些有争议的问题，现在还不便于肯定或否定者除外）。总之，做好充分准备，讲课时才可以做到：得心应手，干脆利落。

　　钻研教材，可以有几种不同的形式。其一，运用系统论的观点，从整体上进行分析研究。这样做，以便全面了解系统教材的内容，掌握来龙去脉，可以明确其中各个部分教材与整体的关系，讲课时可以做到前后呼应，前边可以做好孕伏工作，后边可以做到逐步整理，使已学的知识得以再现。便于学生形成认知结构。其二，搞好单元教材的研究。了解单元教材内容；明确单元教学的目的要求；掌握教学重点及教学难点；以便在每一节课里针对全单元的要求使任务得到落实。其三，仔细揣摩每一节课的教材。

　　下面按照三种形式分别举例说明：

一、运用第一种方法对整数的认识

与整数四则计算教材进行探讨

（一）关于整数的认识　　

　　为了使学生认识整数并且掌握多位数的读法和写法，到底需要哪些基础知识呢？在探讨这个问题时，我是从认识整数的系统教材来考虑的。根据国家教育委员会制订的《全日制小学数学教学大纲》对于教学内容的安排所指出的：把整数划分成“二十以内”、“百以内”、“万以内”、“多位数”四个阶段。并且指出“这样有利于学生逐步建立数的概念，提高计算能力”。在各年级教学内容方面把整数的读法、写法由易到难地安排了五、六个学期（五年制小学安排在五个学期里，六年制小学安排在六个学期里）。我们应该怎样使学生建立明确的整数概念呢？怎样使学生掌握多位数的读法和写法呢？我是怎样分析的呢？从应该使学生掌握的基础知识入手。

　　比如，有两批物品（每100件为1包），让小学生清点（让学完整数读、写法的四年级小学生来清点），清点完了之后，要报告出总数来，还要在报告单上用阿拉伯数字写出来。

　　清点完毕，第一批物品是三千二百四十五包，合三十二万四千五百件，用阿拉伯数字写出来就是3245包或324500件。第二批物品是一万四千七百零六包，合一百四十七万零六百件。用阿拉伯数字写出来就是14706包或1470600件。

　　我根据整数读法、写法的规律，反复琢磨，小学生能够读出相当大的数，能够写出相当大的数，需要哪些基础知识呢？我考虑到的基础知识如下：

　　（1）最初的10个自然数的名称、顺序和写法；

　　（2）计数单位的名称和顺序（即个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿等）；

　　（3）阿拉伯记数法的位值原则及用“○”占位的方法；

　　（4）计数法的十进位制度；

　　（5）四位一级的读数法；

　　（6）三位一节的分节法。

　　通过这样分析，我明确了：要使小学生掌握多位数的读法和写法，必须具备以上六点基础知识。

　　考虑到小学学生年龄段的特点，考虑到他们的接受能力，采取分段认数，逐步扩大数的范围的办法是比较好的。

　　我弄清了认识整数的教学过程的完整体系，知道了必须具备的基础知识，当我教一年级、二年级或是三年级的时候，就可以针对总的要求，逐项完成基础知识教学任务。心中有全局，就可以居高临下地看到各个认数教学段落与总目标的关系，可以做好孕伏工作，为下一个阶段的学习打好基础。

（二）关于整数四则计算

　　与整数的认识相配合，安排着整数的四则计算。一般情况下是这样安排的：

　　（1）认识二十以内的数，主要学习二十以内的进位加法和退位减法；

　　（2）认识百以内的数，主要学习两位数加、减法的笔算，表内乘法及表内除法；

　　（3）认识万、亿等较大的数，学习比较复杂的加、减、乘、除四则计算法则。

　　对于整数四则计算法则，我也是运用系统论的观点，进行整体研究。研究计算加、减、乘、除法所需要的基础知识，并着重分析口算与笔算的关系。
整除概念课进行探讨

　　我反复推敲着数的整除定义。在小学数学教材里对于“整除”的定义是这样写的：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。

　　在讲解这一节课时，我准备和学生讨论以下几个问题。

　　第一，在这个定义里，条件是什么，结论是什么？条件是：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数。结论是：a能被b整除。

　　第二，在定义里所说的数a、数b，是什么数呢？在小学数学教材里特地说明：在讲“数的整除”时，我们所说的数，都是自然数，不包括0。这就是说，被除数和除数都是自然数。

　　第三，商是什么数呢？教材里已明确指出数a、数b都是自然数，也就是说，被除数和除数都是自然数，在定义里说除得的商正好是整数而没有余数，当然就是余数为0。在这种情况下，商肯定也是自然数。

　　第四，怎样非常有把握地判断甲数是不是能被乙数整除呢？简单而明确的归结为三点：①被除数是自然数，②除数是自然数，③商也是自然数而没有余数（余数为0）。如果学生掌握住这三点，就可以准确无误地判断甲数是不是能被乙数整除了。