感恩伽利略——不公平条件下的比较

一、        不公平的合力相等

1、重提旧话

前边文章中，寒门曾经举例过吃西瓜比赛，这次又不得不旧话重提：3个人吃5斤西瓜与98个人吃100斤西瓜相比，在连续的时间内先吃完者胜。请不要挂心这101人的能力，他们都是势均力敌的优秀吃手。如果您做裁判，不用比赛，结果早就知道；如果您是参赛队员，您一定不去3人组，除非您只想西瓜不想胜利！当3人组提出不公平时，物理出身的寒门说：每组都是多2斤西瓜，怎么不公平？

愚蠢的寒门！

2、物理的事实应用

①          已知作竖直向上加速运动的两个物体的质量分别是m1=2kg ， m2=4kg，合力为2N（g取10，下同）。明显地，它们的动力学方程分别是22-20=2a1，42-40=4a2，得到a1=1，a2=0.5②已知不同水平面上作加速运动的两个物体的质量是m1=m2=2kg，合力为2N，对应地μ1=0.1，μ2=0.2。明显地，它们动力学方程的求合力部分分别是4-2与6-4。根据牛顿第二定律得到a1=a2。

分析：第一种情况，阻力比是20:40=1:2，合力与阻力比分别是2：20=1/10，2：40=1/20，合力与阻力比率是0.1：0.05=2，重力完全充当了阻力，那么，在2倍合阻比的不公平的条件下得出不相等的加速度应该是在情理之中的。第二种情况，阻力比是2：4=1/2，合力与阻力比率是1：0.5=2，重力完全被支持力平衡（这个前提太重要了，可惜，除了寒门，没有其他人认可），阻力是重力换算的摩擦力，那么，与第一种情况比对，其加速度也应该是不同的。如果把6-4中的阻力4放到μ1=0.1的条件下，得到4牛摩擦力的物体的质量应该是4千克，这样一对照，加速度是明显地不同——寒门的异想天开，没有人去做这样的比对。

  难道寒门脑子真的进水了！

二、        不用做的斜面实验

伟大的伽利略的斜面实验，证明了“不同质量的小球沿同一倾角的斜面所做的匀变速直线运动的情况是相同的”，“小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而变大”。

寒门偶得一个用调整斜面倾角验证牛顿第二定律的装置，其操作程序大体是：质量一定时，调整高度使得合力变化，证明“质量一定时，加速度与力成正比”；质量不同时，调整高度使得合力相等，证明“力一定时，加速度与质量成反比”。由μ=tanβ得到平衡摩擦力时的角度， F=mg(sinθ-μcosθ)=mg(sinθ- tanβcosθ)=mgsin(θ-β)/cosβ=mgh/Lcosβ,把物体的合力转变成测量倾斜高度h，把对合力的控制转化成对m.h的控制。

质量一定时，调整高度h，不同的高度对应不同的合力，从而得到想要的结论；力一定时，调整高度h，务使m1h1=m2h2,从而得出另一个想要的结论。

实际上，第一个结论不用做实验，伽利略已经给了“小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而变大”结论；第二个呢，无论是否刻意求得合力相等与否，只要h1>h2,大质量的m2都难逃加速度“小”的厄运。伽利略“不同质量的小球沿同一倾角的斜面所做的匀变速直线运动的情况是相同的”。“小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而变大”的结论的可否这样引申——不同质量的小球沿不同倾角的斜面所做的匀变速直线运动的情况是不同的，小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的减小而变小！寒门认为这样的引申是正确的。在m1h1到与m2h2相等的高度区间内，大质量的m2的合力都大于小质量的m1的合力，但是，它的加速度总比m1小，质量大合力大加速度反而小，“力一定时，质量与加速度成反比”的结论是或然不是必然！（寒门又犯“不控制变量”的错误了）

所以，这个斜面实验不用做！

虽然这个实验不用做，但是， 寒门还是想探个究竟，因而有了下边的推理过程和与F-µmg=µma相同的结论。

已知作竖直向上加速运动的两个物体的质量分别是m1=2kg ， m2=4kg，合力分别为2N和4N（g取10）。明显地，它们的动力学方程分别是22-20=2a1，44-40=4a2，得到a1=1，a2=1，a1=a2。它们加速度相等必须同时满足下列条件——质量比1：2，合力比1：2，动力比1：2，阻力比1：2，质量比=合力比=动力比=阻力比=1：2，这个充要条件，伽利略的“不同质量的小球沿同一倾角的斜面所做的匀变速直线运动的情况是相同的”结论可为佐证。

以上是铺垫，寒门被某些版主追杀怕了，所以先找个大家认同的理论做铺垫，下边的过程才是寒门的所想——

完全相同的两个物块的质量是10千克，其一放在µ1=0.1，倾角是30度的斜面上自由下滑，另一个放在倾角是45度的不同斜面上自由下滑，取其动摩擦因数为µ2，求µ2的大小。

因为质量相等的两个物体放在动摩擦因数不同的板面上自由下滑,有且只有1次加速度相等的情况存在，所以

①          按照牛顿第二定律，当合力相等时，其加速度相等，即mg(sinα-µ1cosα)/m=mg(sinβ-µ2cosβ)/m,代入数据sin30-0.1cos30= sin45-µ2cos45，求得µ2=0.4153586，这时，µ1斜面上，动力mgsinα=50，阻力mgµ1cosα=8.66，合力是41.34；µ2斜面上，动力mgsinβ=70.71，阻力mgµ2cosβ=29.37，合力是41.34，加速度a1=a2=41.34/10=4.134。

然而，看看它们的各个比——质量比1：1，合力比1：1，动力比70.71：50=1.4142：1，阻力比29.37：8.66=3.391549：1，与质量比=合力比=动力比=阻力比这个充要条件相悖

②          用寒门的F-µmg=µma可得，mg(sinα-µ1cosα)/ m(sinα+µ1cosα)= mg(sinβ-µ2cosβ)/ m(sinβ+µ2cosβ)，代入数据（sin30-0.1cos30）/（ sin30+0.1cos30）= （sin45-µ2cos45）/ （sin45+µ2cos45），求得µ2=0.1732。这时，µ1斜面上，动力mgsinα=50，阻力mgµ1cosα=8.66，合力是41.34，影响加速运动的质量是5.866；µ2斜面上，动力mgsinβ=70.71，阻力mgµ2cosβ=12.24697，合力是58.46303，影响加速运动的质量是8.295697，加速度a1=41.34/5.866=a2=58.46303/8.295697=7.047。

也看看它们的各个比——影响加速运动的质量比8.295697：5.866=1.4142：1，合力比58.46303：41.34=1.4142：1，动力比70.71：50=1.4142：1，阻力比12.24697：8.66=1.4142：1，与质量比=合力比=动力比=阻力比这个充要条件相同。

由此得到：在有支持面上运动的物体，其重力的全部或一部分被支持面平衡，物体的加速度与所受的合力成正比，与参与与平面平行方向加速运动的质量成反比。

如果只有在同时满足“质量比=合力比=动力比=阻力比” 条件时物体的加速度才相等是“真命题”，那么，第①   的计算便是“假命题”，寒门的第②  就是“真命题”，F-µmg=µma就是正确描述平面上物体加速运动的通式。

 另，伽利略是在“光滑”的斜面上作的实验，如果物体在不光滑的斜面上下滑，还应该加上“相同质量的小球在不同动摩擦因数的斜面上下滑，动摩擦因数大的倾角越大”。

三、        理想的合力相等模式

   要比较不同质量的物体在合力相等时，其加速度是否跟物体的质量成反比，动力和阻力应该都对应相等才算公平，即在不同的动摩擦因数的斜面上进行，能够建立m1gsinα=m2gsinβ   μ1m1gcosα=μ2m2gcosβ的方程组，这样的比较实验，得出的结论才能让人信服。